Question

已知正向等比数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，其前n项和为S_n，（n∈N^*）且S₃+a₃，S₅+a₅，S₄+a₄成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=a_n+（-1）ⁿlna_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据已知条件建立等量关系式，求出公比q，进一步确定数列的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的通项公式，求出新数列的通项公式，进一步利用分类法求数列的和．

解答： 解：（Ⅰ）正项等比数列{a_n}的首项a₁=

3

2

，设公比为q，其前n项和为S_n，（n∈N^*）且S₃+a₃，S₅+a₅，
S₄+a₄成等差数列，
所以：2S₅+2a₅=S₃+a₃+S₄+a₄，
整理得：4q⁴=q²，解得：q=±

1

2

，
数列为正项数列，
所以q=

1

2

，
所以数列{a_n}的通项公式为：an=3•(

1

2

)n=

3

2n

．
（Ⅱ）由于数列的通项公式为：an=3•(

1

2

)n=

3

2n

bn=an+(-1)nlnan=

3

2n

+(-1)nln

3

2n

=

3 2n -ln 3 2n (n为奇数) 3 2n +ln 3 2n (n为偶数)

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…）+（b₂+b₄+…）
=(

3

21

+

3

23

+

3

25

+…)-（ln

3

21

+ln

3

23

+…）+（

3

22

+

3

24

+…）+（ln

3

22

+ln

3

24

+…）
=2(1-(

1

4

)

n

2

)-ln

3 n 2

2 n2 2

+（1-(

1

4

)

n

2

）+（ln

3 n 2

2 n2 4 + n 2

）
=3(1-(

1

4

)

n

2

)+(

n2

4

-

n

2

)ln2

点评：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用分类法求数列的和．属于中等题型．