Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0（x＞0），则不等式xf（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：首先，构造函数g（x）=

f(x)

x

，然后，得到该函数的单调区间，最后，结合该函数的取值情形，进行求解．

解答： 解：∵

xf′(x)-f(x)

x2

＞0（x＞0），
设函数g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，
∴g（x）的单调递增区间为（0，+∞），
∵g（-x）=

f(-x)

-x

=

-f(x)

-x

=g（x），
∴g（x）为偶函数，
∴g（x）的单调递减区间为（-∞，0），
∵f（1）=0，
∴g（1）=0．g（-1）=0，
∴当x＜-1时，g（x）＞0，
当-1＜x＜0时，g（x）＜0，
当0＜x＜1时，g（x）＜0，
当x＞1时，g（x）＞0，
∵不等式xf（x）＞0的解集等价于g（x）＞0，
∴当x＜-1或x＞1时，g（x）＞0，
不等式xf（x）＞0的解集{x|x＜-1或x＞1}．
故答案为：{x|x＜-1或x＞1}．

点评：本题重点考查了函数的基本性质，函数的单调性与导数之间的关系等知识点，属于中档题．