Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图先求得A，T，ω的值，当x=

2π

3

时，f（x）=-1，可得φ的值，从而可求f（x）的解析式．
（2）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2x-

π

6

），由x∈[0，

π

2

]，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，即可求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由图可知，A=1，

T

4

=

2π

3

-

5π

12

=

π

4

，T=π，
所以ω=2．
当x=

2π

3

时，f（x）=-1，可得sin（2×

2π

3

+φ）=-1．
∵|φ|＜

π

2

∴φ=

π

6

∴求f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x+

π

6

）．
将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位长度得到函数y=g（x）=sin[2（x-

π

6

）+

π

6

]=sin（2x-

π

6

）的图象，
故g（x）=sin（2x-

π

6

），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

当2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

时，g（x）有最大值为1；
当2x-

π

6

=-

π

6

，即x=0时，g（x）有最小值为-

1

2

；

点评：本题主要考察了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．