Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：b_n=a_n+1-λa_n（n∈N^*）．
（1）若λ=1，a1=1，bn=2n，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若λ=-1，a₁=a，a₂=3a，b_n=4n-1，且{a_n}是递增数列，求a的取值范围；
（3）若λ=1，b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，记c_n=a_6n-1（n∈N^*），求证：数列{c_n}为等差数列．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=2ⁿ-1，验证n=1时，是否符合，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由题意知，b_n=a_n+1+a_n=4n-1，所以a_n+2+a_n+1=4n+3，两式相减得a_n+2-a_n=4，a₁=a，a₂=3a，从而可得数列{a_n}的通项公式，再利用{a_n}是递增数列，即可求得a的取值范围；
（3）依题意，可求得{b_n}是以6为周期的数列，由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，得：b₃=2，b₄=1，b₅=

1

2

，b₆=

1

2

，易求c_n+1-c_n=7，从而可证数列{c_n}为等差数列．

解答： 解：（1）当n≥2时，有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=a₁+b₁+b₂+…+b_n-1=2ⁿ-1…3分
又a₁=1也满足上式，所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-1…4分
（2）由题意知，b_n=a_n+1+a_n=4n-1，所以a_n+2+a_n+1=4n+3，
两式相减得a_n+2-a_n=4，…6分
又a₂+a₁=3得a₂=3-a，所以数列的通项公式为a_n=

a+2(n-1)，n为奇数 3-a+2(n-2)，n为偶数

=

a+2n-2，n为奇数 -a+2n-1，n为偶数

…8分
因为{a_n}是递增数列，所以a_2k-1＜a_2k＜a_2k+1，…9分
解得：

1

2

＜a＜

1

3

…10分
（3）因为对任意的n∈N^*．都有b_n+6=

bn+5

bn+4

=

bn+4 bn+3

bn+4

=

1

bn+3

=

bn+1

bn+2

=

bn+1

bn+1 bn

=b_n，
所以{b_n}是以6为周期的数列，…13分
由b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2，得：b₃=2，b₄=1，b₅=

1

2

，b₆=

1

2

，…15分
因而c_n+1-c_n=a_6n+5-a_6n-1=b_6n-1+b_6n+b_6n+1+b_6n+2+b_6n+3+b_6n+4=1+2+2+1+

1

2

+

1

2

=7，
所以，数列{c_n}为等差数列…18分

点评：本题考查数列递推式，着重考查等差关系的确定，考查转化思想、逻辑推理、综合运算能力，（3）中推得{b_n}是以6为周期的数列是难点，属于难题．