Question

已知函数f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1处取得极值c+2，a，b，c为常数，
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²lnx+ax²+3bx²，从而

f′(1)=a+3b=0 f(1)=b+c=c+2

，由此能求出a=-6，b=2；
（2）由（1）得f′（x）=-18x²lnx，x＞0，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间；
（3）当x＞0时，f（x）＜c²恒成立的充要条件是f（x）_最大值＜c²，由此能求出c的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³lnx+bx³+c，
∴f′（x）=3ax²lnx+ax²+3bx²，
∵函数f（x）=ax³lnx+bx³+c在x=1处取得极值c+2，
∴

f′(1)=a+3b=0 f(1)=b+c=c+2

，
解得a=-6，b=2．
（2）由（1）得f′（x）=-18x²lnx，x＞0，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1，∴增区间为（0，1）；
由f′（x）＜0，得x＞1，∴减区间为（1，+∞）．
（3）当x＞0时，f（x）＜c²恒成立的充要条件是f（x）_最大值＜c²，
由（2）知所以f（x）_最大值=f（1）＜c²
即c²＞2+c，解得c＜-1或c＞2．
所以c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查综合分析、运算能力，属于难题．