Question

8．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A₁B⊥AC₁．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ABC₁；
（2）若∠A₁AC=60°，CA=2，求三棱锥A₁-B₁BC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，从而BC⊥侧面ACC₁A，进而BC⊥AC₁，再由A₁B⊥AC₁，得到AC₁⊥平面A₁BC，由此能证明平面A₁BC⊥平面ABC₁．
（2）三棱锥A₁-B₁BC的体积${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC}$=${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵侧面ACC₁A₁⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，
∴AC⊥BC，∵侧面ACC₁A₁∩底面ABC=AC，
∴BC⊥侧面ACC₁A，∵AC₁?侧面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁，
∵A₁B⊥AC₁，BC∩A₁B=B，∴AC₁⊥平面A₁BC，
∵AC₁?ABC₁，∴平面A₁BC⊥平面ABC₁．
解：（2）∵BC∥B₁C₁，AC₁⊥平面A₁BC，
∴B₁到平面A₁BC的距离d=$\frac{1}{2}$AC₁，
∵底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB=2，∠A₁AC=60°，AC₁⊥平面A₁BC，
∴四边形ACC₁A₁是边长为2的菱形，∴d=$\frac{1}{2}A{C}_{1}$=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，A₁C=2，
∴${S}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}×BC×{A}_{1}C$=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥A₁-B₁BC的体积${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}BC}$=${V}_{{B}_{1}-{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}×d×{S}_{△{A}_{1}BC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积，考查推理论证能力，考查空间想象能力与计算能力，考查等价转化思想及数形结合思想，是中档题．