Question

已知各项为负的数列{a_n}前n项和为S_n，且满足2S_n=a_n-a_n²．
（1）求a_n；
（2）求证：ln

n+1

n

＜-

1

an

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1，由a₁=S₁，求得首项，再由当n＞1时，将n化为n-1，两式相减，化简整理即可得到a_n-a_n-1=-1．再由等差数列的通项公式，即可得到；
（2）令f（x）=ln（1+x）-x，求出导数，单调区间，进而得到极大值，且为最大值，即有ln（1+x）≤x，可令x=

1

n

，即可得证．

解答： （1）解：当n＞1时，由2S_n=a_n-a_n²．
得2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，
两式相减得，2（S_n-S_n-1）=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），
即有a_n+a_n-1=-（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
则a_n-a_n-1=-1．
又n=1时，2a₁=2S₁=a₁-a₁²，
解得a₁=-1，
则有a_n=a₁+（n-1）×（-1）=-n；
（2）证明：要证：ln

n+1

n

＜-

1

an

，
即证ln

n+1

n

＜

1

n

，
令f（x）=ln（1+x）-x，
则f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

1+x

，
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）递减，
-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
则x=0取得极大值，且为最大值，
则ln（1+x）-x≤0，即有ln（1+x）≤x，
可令x=

1

n

，则有ln（1+

1

n

）＜

1

n

，
即有ln

n+1

n

＜-

1

an

成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列不等式的证明，注意运用构造函数，求最值，属于中档题．