Question

设a＞0，f（x）=

ex

a

-

a

ex

是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）用定义证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由定义在R的奇函数图象必过坐标原点，可得f（0）=0，代入可构造关于a的方程，解方程可得答案．
（2）设两个实数数x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差变形整理，得f（x₁）＜f（x₂），由此即可证明函数为减函数．

解答： 解：（1）若函数f（x）=

ex

a

-

a

ex

是R上的奇函数，
则f（0）=

e0

a

-

a

e0

=

1

a

-a=0，
解得a=1．
（2）∵a=1，∴f(x)=ex-

1

ex

设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=ex1-

1

ex1

-ex2+

1

ex2

）=ex1-ex2+

1

ex2

-

1

ex1

=ex1-ex2+

ex1-ex2

ex1ex2

=（ex1-ex2 ）（1+

1

ex1ex2

），
∵x₁＜x₂，∴ex1＜ex2，∴ex1-ex2＜0，∵1+

1

ex1ex2

＞0，
∴（ex1-ex2 ）（1+

1

ex1ex2

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，考查了用定义证明函数单调性的知识，熟练掌握奇函数的特性：定义在R的奇函数图象必过坐标原点，是解答的关键．