Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足|PM|-|PN|=2

2

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过N的直线交C于A、B两点，若|AB|=

10

3

2

，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：圆锥曲线的轨迹问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于点M（-2，0），N（2，0），动点P满足|PM|-|PN|=2

2

．可得动点P的轨迹C是双曲线的右支，求出即可．
（2）当直线AB的斜率不存在时，直接求解即可判断出．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x-2）与双曲线的方程联立可得化为（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答： 解：（1）∵点M（-2，0），N（2，0），动点P满足|PM|-|PN|=2

2

．
∴动点P的轨迹C是双曲线的右支，
其方程为

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0）．
（2）当直线AB的斜率不存在时，联立

x=2 x2-y2=2

解得x=2，y=±

2

，取A(2，

2

)，B(2，-

2

)．
则|AB|=2

2

，不符合题意，舍去．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=k（x-2）．
联立

y=k(x-2) x2-y2=2

，
化为（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0，
△＞0．
∴x1+x2=

-4k2

1-4k2

，x₁x₂=

-4k2-2

1-k2

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 16k4 (1-k2)2 + 4(4k2+2) 1-k2 ]

=

10

3

2

，
化为 3（1+k²）=±5（1-k²），
化为k2=

1

4

，k²=4．
解得k=±

1

2

，k=±2．满足△＞0．
∴直线AB的方程为y=±

1

2

（x-2）或y=±2（x-2）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．