Question

在数列{a_n}中，a=1，a+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

a

=2ⁿ-1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求存在n∈N^*，使得a_n≤n（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）在数列递推式中，取n=n-1得另一递推式，作差后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）直接利用错位相减法求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入a_n≤n（n+1）λ，整理后分离参数λ，然后设辅助函数f(n)=

2n-1

n+1

，利用作商法判断其单调性，求其最小值，则答案可求．

解答： 解：（1）由a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

a

=2ⁿ-1  ①，
得a₁+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

=2n-1-1（n≥2）②，
①-②得：

an

n

=2n-1(n≥2)，
∴an=n•2n-1，验证n=1时此式成立，
∴an=n•2n-1；
（2）Sn=1×20+2×21+3×22+…+n•2n-1  ③，
2Sn=1×21+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n  ④，
③-④得：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=（1-n）•2ⁿ-1．
∴Sn=(n-1)•2n+1；
（3）由a_n≤n（n+1）λ，得
λ≥

an

n(n+1)

=

2n-1

n+1

．
令f(n)=

2n-1

n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+2

•

n+1

2n-1

=

2n+2

n+2

＞1．
∴f（n）单调递增，
从而f(n)min=f(1)=

1

2

．
∴λ≥

1

2

．
即实数λ的最小值为

1

2

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，训练了分离参数法求字母的取值范围，是压轴题．