Question

14．已知实数a，b满足0＜a＜1，-1＜b＜1，则函数$y=\frac{1}{3}a{x^3}+a{x^2}+b$有三个零点的概率为$\frac{5}{16}$．

Answer 1

分析 由函数有极值可得b＜a²，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．由函数有极值可得b＜a²，由定积分可求满足题意的区域面积，由几何概型的概率公式可得．

解答 解：对y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b求导数可得y′=ax²+2ax，令ax²+2ax=0，可得x=0，或x=-2，0＜a＜1，
x=-2是极大值点，x=0是极小值点，函数y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b
有三个零点，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（0）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{3}a+4a+b＞0}\\{b＜0}\end{array}\right.$，
画出可行域如图：满足函数y=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+b有三个零点，如图深色区域，实数a，b满足0＜a＜1，-1＜b＜1，为长方形区域，所以长方形的面积为：2，实数区域的面积为：$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{5}{8}$
∴所求概率为P=$\frac{\frac{5}{8}}{2}$=$\frac{5}{16}$，
故答案为：$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查几何概型的求解，涉及导数求解函数的极值，函数的零点以及线性规划的应用，属中档题．