Question

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，满足a₃=4，S₇=35；T_n是数列{b_n}的前n项和，满足：T_n=2b_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列cn=

an

an+1

+

log2bn+1

log2bn

的前n项和R_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差d，由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由T_n=2b_n-2，得T_n-1=2b_n-1-2，两式相减{b_n}是以2为公比的等比数列，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由题设条件推导出c_n=2+

1

n

-

1

n+1

，由此利用列项求和法能求出cn=

an

an+1

+

log2bn+1

log2bn

的前n项和R_n．

解答： （本题共12分）
（1）解：设等差数列{a_n}的公差d，
∵a₃=4，S₇=35，
∴

a1+2d=4 7a1+ 7×6 2 d=35

，解得a₁=2，d=1，
∴a_n=n+1．…（2分）
∵T_n=2b_n-2，∴T_n-1=2b_n-1-2，（n≥2，n∈N*）
两式相减得：b_n=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1且n=1也满足，
∴{b_n}是以2为公比的等比数列，
又∵b₁=2，∴bn=2n…（6分）
（2）∵cn=

an

an+1

+

log2bn+1

log2bn

=

n+1

n+2

+

n+1

n

=2+

1

n

-

1

n+2

，…（9分）
∴R_n=2n+1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+2

=2n+

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

4n+3

2

-

2n+3

n2+3n+2

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．