Question

19．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的右焦点为F，右顶点为M，且$\frac{1}{{|{OF}|}}$+$\frac{1}{{|{OM}|}}$=$\frac{3e}{{|{FM}|}}$，（其中O为原点），e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C方程；
（2）若过点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$为定值？如果有，求出点N的坐标及相应定值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意求得a²=c²+3及|OF|、|OM|、|FM|，并代入$\frac{1}{{|{OF}|}}$+$\frac{1}{{|{OM}|}}$=$\frac{3e}{{|{FM}|}}$，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；
（2）直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积的坐标表示，结合已知条件能求出存在点N（$\frac{11}{8}$，0）满足$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=-$\frac{135}{64}$．

解答 解：（1）由题意可知：焦点在x轴上，由a²=c²+3
∴丨OF丨=c=$\sqrt{{a}^{2}-3}$，丨OM丨=a，丨FM丨=a-c=a-$\sqrt{{a}^{2}-3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}$
由$\frac{1}{{|{OF}|}}$+$\frac{1}{{|{OM}|}}$=$\frac{3e}{{|{FM}|}}$，即：$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-3}}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-3}}$，
∴a[a²-（a²-3）]=3a（a²-3），解得a=2．
∴椭圆C方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知：c=1，
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将椭圆方程代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
△＞0，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
若存在定点N（m，0）满足条件，
则有$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=（x₁-m）（x₂-m）+y₁y₂，
=m²-m（x₁+x₂）+k²（x₁-1）（x₂-1），
=（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）•（x₁+x₂）+k²+m²，
=$\frac{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}-12）}{4{k}^{2}+3}$-$\frac{（m+{k}^{2}）×8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$+k²+m²，
=$\frac{（4{m}^{2}-8m-5）{k}^{2}+3{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
如果要上式为定值，则必须有$\frac{4{m}^{2}-8m-5}{3{m}^{2}-12}$=$\frac{4}{3}$⇒m=$\frac{11}{8}$，
证当直线l斜率不存在时，也符合．
故存在点N（$\frac{11}{8}$，0）满足$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=-$\frac{135}{64}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积及椭圆性质的合理运用，考查计算能力，属于中档题．