Question

14．如图，AD∥BC，过A、C、D三点的圆O与直线AB相切，且圆O过线段BC的中点E．
（1）求证：∠B=∠ACD；
（2）求$\frac{AC}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用圆的切线的性质，及平行线的性质可得∠B=∠ACD；
（2）证明△ABE∽△ACD，即可求$\frac{AC}{CD}$的值．

解答 （1）证明：∵圆O与直线AB相切，
∴∠BAE=∠ACE
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE，
∴∠BAE=∠DAC
又∵A、E、C、D四点共圆，∴∠D=∠AEB．
∴∠ACD=180°-∠D-∠DAC=180°-∠AEB-∠BAE=∠B…（5分）
（2）解：由（1）∠BAE=∠DAC，∠D=∠AEB，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
∵BC=2BE，BE=CE，
∴由切割线定理AB²=BC•BE=2BE²，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BE}=\sqrt{2}$…..（10分）

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．