题目内容
9．正项数列{an}满足：a1=2，a2=1，且$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n≥2），则此数列的第2 016项为（ ）| A． | $\frac{1}{{2}^{2015}}$ | B． | $\frac{1}{{2}^{2016}}$ | C． | $\frac{1}{2016}$ | D． | $\frac{1}{1008}$ |
分析 由$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n≥2），可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，再利用等差数列的通项公式即可得出．
解答 解：由$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n≥2），可知：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
故数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$为等差数列，于是$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
所以an=$\frac{2}{n}$，于是a2016=$\frac{1}{1008}$，
故选：D．
点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目