Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若O（0，0），P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标都是整数的点为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点（不必具体求出这些点的坐标）；否则，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用短轴的一个端点B（0，4），离心率e=0.6，求出a，b，c，即可求椭圆C的方程；
（2）确定点Q在与直线OP平行且距离为2

2

的直线l上，可得l的方程，再分类讨论，即可求出结论．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），…（1分）
依题意得，b=4，

c

a

=

3

5

，又a²=b²+c²，…（3分）
∴a=5，b=4，c=3，…（4分）
所以椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．…（5分）
（2）依题意得，|OP|=2

2

，直线OP的方程为 y=x，…（6分）
因为S_△OPQ=4，点Q到直线OP的距离为2

2

，…（7分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为2

2

的直线l上，…（8分）
设l：y=x+m，则

|m|

2

=2

2

解得m=±4，…（10分）
当m=4时，由

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

，消元得41x²+200x＜0，即-

200

41

＜x＜0，x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，
此时满足条件的点Q有4个，…（13分）
当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．