Question

一个圆台 的母线长为12，两底面面积分别为4π，25π，
（1）求这个圆台的高及截得此圆台的圆锥的母线长；
（2）求这个圆台的侧面积与体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,棱台的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据圆台的轴截面是等腰梯形作出高AM，得到直角三角形ABM，求AM；通过相似三角形求SB．
（2）利用圆锥的侧面是扇形，结合扇形的面积公式求圆台的侧面积．利用体积公式求体积．

解答： 解：（1）圆台的轴截面是等腰梯形ABCD（如图）．由已知可得上底半径O₁A=2，下底半径OB=5．
又∵腰长为12，
∴高AM=

122-(5-2)2

=3

15

，
∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x，
则由△SAO₁∽△SBO可得：

2

5

=

x-12

x

，解得x=20；
属于截得此圆台的圆锥的母线长20；
（2）大圆锥的底面周长为2×5π=10π，小圆锥的底面周长为2×2π=4π，
这个圆台的侧面积=大圆锥侧面积-小圆锥的侧面积=

1

2

×10π×20-

1

2

×4π×(20-12)=84π；
∴所求圆台的体积为

1

3

×（4π+

4π×25π

+25π）×3

15

=39

15

π．

点评：本题考查了圆台的高、母线长、侧面积以及体积的求法；关键是将问题转为平面几何的知识解答，属于基础题．