Question

已知圆N以N（2，0）为圆心，同时与直线l₁：y=x和l₂：y=-x都相切．
（1）求圆N的方程；
（2）是否存在一条直线l同时满足下列条件：
   ①直线l分别与直线l₁和l₂交于A，B两点，且AB中点为E（4，1）；
   ②直线l被圆N截得的弦长为2．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆的标准方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用圆N与直线l₁：y=x相切，求出圆的半径，即可求圆N的方程；
（2）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y-1=k（x-4）（k≠±1），利用l被圆N截得的弦长为2，可求k=0或

4

3

，分类讨论，求出A，B的坐标，验证AB中点是否为E（4，1），即可得出结论．

解答： 解：（1）∵圆N与直线l₁：y=x相切，∴半径r=

2

2

=

2

．       …（2分）
∴圆N的方程为（x-2）²+y²=2．                   …（4分）
（2）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，
设l的方程为y-1=k（x-4）（k≠±1），…（5分）
∵l被圆N截得的弦长为2，
∴圆心到直线的距离等于1，即d=

|2k-1|

1+k2

=1，
解得k=0或

4

3

，…（8分）
当k=0时，显然不合AB中点为E（4，1）的条件，矛盾！…（9分）
当k=

4

3

时，l的方程为4x-3y-13=0，
由

4x-3y-13=0 y=x

，解得点A坐标为（13，13），
由

4x-3y-13=0 y=-x

，解得点B坐标为（

13

7

，-

13

7

），…（11分）
显然AB中点不是E（4，1），矛盾！
∴不存在满足条件的直线l．                …（12分）

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查圆的方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，求出A，B的坐标是关键．