Question

17．设偶函数f（x）=x²+bx+c的一个零点为1，直线y=kx+m（k＞0）与函数y=f（x）的图象相切．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求mk的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出b，根据f（1）=0，求出c，从而求出函数的解析式即可；
（Ⅱ）问题转化为方程x²-kx-（m+1）=0只有一个解，由△=k²+4（m+1）=0，得到$mk=-k-\frac{4}{k}$=$-（k+\frac{4}{k}）$，根据基本不等式的性质求出即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）是偶函数，所以b=0…（1分）
又f（1）=0，
所以1+c=0，即c=-1…（2分）
所以f（x）=x²-1…（4分）
（Ⅱ）因为直线y=kx+m（k＞0）与函数y=f（x）的图象相切
所以方程x²-1=kx+m，即x²-kx-（m+1）=0只有一个解…（5分）
所以△=k²+4（m+1）=0…（7分）
所以$m=-1-\frac{4}{k^2}$…（8分）
则$mk=-k-\frac{4}{k}$=$-（k+\frac{4}{k}）$…（10分）
因为k＞0，所以$k+\frac{4}{k}≥2\sqrt{k•\frac{4}{k}}=4$当且仅当k=2时取等号．…（11分）
此时mk≤-4，即mk的最大值为-4…（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性问题，考查二次函数的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．