Question

20．设函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在两个整数x₁，x₂，使得f（x₁），f（x₂）都小于0，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{{3{e^2}}}$，$\frac{3}{2e}$）
• B． [-$\frac{3}{2e}$，$\frac{3}{2e}$）
• C． [$\frac{5}{{3{e^2}}}$，1）
• D． [$\frac{3}{2e}$，1）

Answer 1

分析 设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，则存在两个整数x₁，x₂，使得g（x）在直线y=ax-a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=e^x（2x-1）-ax+a，
其中a＜1，
设g（x）=e^x（2x-1），y=ax-a，
∵存在两个整数x₁，x₂，
使得f（x₁），f（x₂）都小于0，
∴存在两个整数x₁，x₂，
使得g（x）在直线y=ax-a的下方，
∵g′（x）=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，g′（x）＜0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，[g（x）]_min=g（-$\frac{1}{2}$）=-2${e}^{-\frac{1}{2}}$．
当x=0时，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直线y=ax-a恒过（1，0），斜率为a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-3e^-1＜-a-a，解得a＜$\frac{3}{2e}$．g（-2）≥-2a-a，解得a≥$\frac{5}{3{e}^{2}}$，
∴a的取值范围是[$\frac{5}{3{e}^{2}}$，$\frac{3}{2e}$）．
故选：A．

点评 本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．