Question

16．已知f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线平行于直线x+y=0，求a的值；
（2）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；
（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过f′（1）=-1，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）结合（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，得到故a的方程，解出即可．

解答 解（1）$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}$…（2分）
由题意可知f'（1）=1+a=-1，故a=-2…（3分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}=\frac{x+a}{x^2}$
当a≥0时，因为x＞0，∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）为增函数；…（5分）
当a＜0时，由$f'（x）=\frac{x+a}{x^2}＞0，得x＞-a$；
由$f'（x）=\frac{x+a}{x^2}＜0，得0＜x＜-a$，
所以增区间为（-a，+∞），减区间为（0，-a），…（8分）
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）为增函数；
当a＜0时，f（x）的减区间为（0，-a），增区间为（-a，+∞）．…（9分）
（3）由（2）可知，当a≥0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
故有$f（1）=-a=\frac{3}{2}$，所以$a=-\frac{3}{2}$不合题意，舍去．…（10分）
当a＜0时，f（x）的减区间为（0，-a），增区间为（-a，+∞）．
若-a＞e，即a＜-e，则函数f（x）在[1，e]上单调递减，
则$f（e）=1-\frac{a}{e}=\frac{3}{2}$，∴$a=-\frac{e}{2}$不合题意，舍去．…（11分）
若-a＜1，即-1＜a＜0时，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
$f（1）=-a=\frac{3}{2}$，所以$a=-\frac{3}{2}$不合题意，舍去．…（12分）
若$x=\frac{x（x+1）}{2}$时，x＞100，
解得$a=-\sqrt{e}$，
综上所述，$a=-\sqrt{e}$．…（14分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．