Question

20．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足：b_n=$\sqrt{{2^{a_n}}}$．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由当n=1时，a₁=S₁=2，则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，即可求得b_n；
（2）利用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由${S_n}={n^2}+n$得：当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，
由于a₁=2也满足a_n=2n，故a_n=2n（n∈N⁺）；
由${b_n}=\sqrt{{2^{a_n}}}$=$\sqrt{{2}^{2n}}$=2ⁿ，（n∈N⁺）．
（2）由（1）可知：c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ，
所以${T_n}=2×1×{2^1}+2×2×{2^2}+2×3×{2^3}+…+（2n）•{2^n}$，①
$2{T_n}=2×1×{2^2}+2×2×{2^3}+2×3×{2^4}+…+（2n）•{2^{n+1}}$，②
②-①得${T_n}=2×n×{2^{n+1}}-2×（{2^1}+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}）$=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查数列的通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．