Question

已知函数f（x）=（log 

1

4

x）²-log 

1

4

x+5．
（1）判断函数的单调区间及其在每个单调区间内的单调性；
（2）当x∈[2，4]时，求函数f（x）的最小值、最小值及相应的x值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）判断函数的单调区间及其在每个单调区间内的单调性；
（2）当x∈[2，4]时，求函数f（x）的最小值、最小值及相应的x值．

解答： 解：（1）设t=log 

1

4

x，则函数f（x）等价为y=g（t）=t²-t+5=（t-

1

2

）²+

19

4

．
则函数y=g（t）的增区间为[

1

2

，+∞）．减区间为（-∞，

1

2

]，
∵t=log 

1

4

x为减函数，
∴由t=log 

1

4

x≥

1

2

，解得0＜x≤

1

2

，即此时函数f（x）单调递减，即减区间为（0，

1

2

]，
由t=log 

1

4

x≤

1

2

，解得x≥

1

2

，即此时函数f（x）单调递增，增区间为[

1

2

，+∞）．
（2）当x∈[2，4]时，函数单调递增，则当x=2时，函数f（x）取得最小值f（2）=（log 

1

4

2）²-log 

1

4

2+5=

1

4

+

1

2

+5=

23

4

．
当x=4时，函数f（x）取得最大值f（4）=（log 

1

4

4）²-log 

1

4

4+5=1+1+5=7．

点评：本题主要考查复合函数单调性的判断以及函数最值和单调性的关系，利用换元法结合对数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．