Question

1．（Ⅰ）已知复数$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，其共轭复数为$\overline z$，求$|\frac{1}{z}|+{（\overline z）^2}$；
（Ⅱ）设集合A={y|$y={x^2}-2x+\frac{1}{2}$}，B={x|m+x²≤1，m＜1}．命题p：x∈A；命题q：x∈B．若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复数的基本运算进行化简即可．
（Ⅱ）根据必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为$z=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，所以$|\frac{1}{z}|=|-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i|=\sqrt{{{（-\frac{1}{2}）}^2}+{{（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}=1$${（\overline z）^2}={（-\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}i）^2}=-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$，
所以原式=$1-\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$；
（Ⅱ）由题可知$A=\{y|y≥-\frac{1}{2}\}$，$B=\{x|-\sqrt{1-m}≤x≤\sqrt{1-m}\}$，
由于p是q的必要条件，所以B⊆A，
所以$-\sqrt{1-m}≥-\frac{1}{2}$，解得$m≥\frac{3}{4}$．
综上所述：$\frac{3}{4}≤m＜1$．

点评 本题主要考查复数的基本运算和充分条件和必要条件的应用，根据相应的定义是解决本题的关键．