Question

16．设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． 1
• D． 条件不够，不能确定

Answer 1

分析 根据题意，设出A、B、C、D的坐标，计算可得|BD|的值，结合椭圆、双曲线的定义计算可得椭圆的离心率e₁和双曲线的离心率e₂，将椭圆和双曲线的离心率相乘即可得答案．

解答 解：根据题意，设A的坐标（-m，0），D的坐标为（-m，n），则B（m，0），D（m，n）；
则|DB|=$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$，
在椭圆中，c=m，2a=|AD|+|BD|=n+$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$，
其离心率e₁=$\frac{c}{a}$=$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}+n}$，
在双曲线中，c=m，2a=|DB|-|AD|=$\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}$-n，
其离心率e₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}-n}$，
椭圆和双曲线的离心率之积e₁×e₂=$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}+n}$×$\frac{2m}{\sqrt{4{m}^{2}+{n}^{2}}-n}$=$\frac{4{m}^{2}}{4{m}^{2}}$=1；
故选：C．

点评 本题考查椭圆、双曲线的几何性质，关键是利用椭圆、双曲线的定义分析计算其离心率．