题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，E为AD的中点，F为PC的中点，PE⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且BC=CD=| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求证：PA⊥平面BEF；
（Ⅱ）若PE=
| 3 |
考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定
专题：空间角
分析：（1）连结AC，交BE于点M，连结FM，由已知条件推导出PA∥FM，由此能证明PA∥面BEF．
（2）由题意得CD⊥平面PAD，所以面PDC⊥面PAD，过点E，作EH⊥PD，连结FH，则∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，由此能求出结果．
（2）由题意得CD⊥平面PAD，所以面PDC⊥面PAD，过点E，作EH⊥PD，连结FH，则∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，由此能求出结果．
解答：
（1）证明：连结AC，交BE于点M，连结FM，
由题意得
=
=
=1，
∴PA∥FM，
又∵FM?平面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．
（2）解：由题意得CD⊥平面PAD，
∴面PDC⊥面PAD，
过点E，作EH⊥PD，连结FH，
则有EH⊥平面PDC，
∴∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，
∵BC=CD=
AD=1，∴EH=
，EF=
，
∴sin∠EFH=
=
．
∴直线EF和平面PDC所成角的正弦值为
．
由题意得
| AM |
| MC |
| AE |
| BC |
| PF |
| FC |
∴PA∥FM，
又∵FM?平面BEF，PA?面BEF，
∴PA∥面BEF．
（2）解：由题意得CD⊥平面PAD，
∴面PDC⊥面PAD，
过点E，作EH⊥PD，连结FH，
则有EH⊥平面PDC，
∴∠EFH为直线EF和平面PDC所成角，
∵BC=CD=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴sin∠EFH=
| EH |
| EF |
| ||
| 5 |
∴直线EF和平面PDC所成角的正弦值为
| ||
| 5 |
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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设直线y=
x与圆C：（x-2）2+y2=4交于A，B两点，则弦长|AB|=（ ）
| 3 |
A、
| ||
B、2
| ||
| C、1 | ||
| D、2 |
