Question

5．在△ABC中，已知$\sqrt{3}asinC-c（{2+cosA}）=0$，其中角A、B、C所对的边分别为a、b、c．求
（1）求角A的大小；
（2）若$a=\sqrt{6}$，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求sinB+sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，得$\sqrt{3}sinAsinC-sinC（{2+cosA}）=0$，从而$\sqrt{3}sinA-cosA=2$，由此能求出角A．
（2）由$S=\frac{1}{2}bc{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得bc=2，由$a=\sqrt{6}$及余弦定理得$b+c=2\sqrt{2}$，由此能求出sinB+sinC的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，$\sqrt{3}asinC-c（{2+cosA}）=0$，
∴由正弦定理，得$\sqrt{3}sinAsinC-sinC（{2+cosA}）=0$，
∵sinC≠0，∴$\sqrt{3}sinA-cosA=2$．即$sin（{A-\frac{π}{6}}）=1$，而A∈（0，π）
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，则 $A=\frac{2π}{3}$------（6分）
（2）由$S=\frac{1}{2}bc{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得bc=2，
由$a=\sqrt{6}$及余弦定理得${（{\sqrt{6}}）^2}={b^2}+{c^2}-2bc{cosA}={b^2}+{c^2}+bc={（{b+c}）^2}-bc$，
即$b+c=2\sqrt{2}$，所以${sinB}+sinC=\frac{sinA}{a}（{b+c}）=1$．----（12分）

点评 本题考查角的大小、两角正弦值的和的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．