Question

16．设函数f（x）=sin²ωx-cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{4}$，0），求函数f（x）在区间[0，$\frac{3π}{5}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；
（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx+λ
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+λ
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ，
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈z．
∴ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$，又ω∈（$\frac{1}{2}$，1），
令k=1时，ω=$\frac{5}{6}$符合要求，
∴函数f（x）的最小正周期为 $\frac{2π}{2×\frac{5}{6}}$=$\frac{6π}{5}$；
（Ⅱ）∵f（$\frac{π}{4}$）=0，
∴2sin（2×$\frac{5}{6}$×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）+λ=0，
∴λ=-$\sqrt{2}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{2}$，
∴f（x）∈[-1-$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，是一道中档题．