Question

已知二次函数f（x）=ax²+4ax+a²-1
（1）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间
（2）当x∈[-4，1]时，函数f（x）的最大值为5，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对称轴方程以及a的符号，求得函数的单调区间．
（2）根据对称轴为x=-2∈[-4，1]，分当a＞0和当a＜0两种情况，分别根据函数的最大值求得a的值．

解答： 解：（1）∵对称轴为x=-2，∴当a＜0时，函数f（x）在（-∞，-2]上是增函数，
在[-2，+∞）上是减函数．
（2）∵对称轴为x=-2∈[-4，1]，
①当a＞0时，fmax(x)=f(1)=a2+5a-1=5，∴a=1，或a=-6（舍去）．
②当a＜0时，fmax(x)=f(-2)=a2-4a-1=5，∴a=2-

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或a=2+

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（舍去）．
综上所述，a=1或a=2-

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．

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．