Question

10．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，且经过点A（1，2），过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，直线OP，OQ与直线x=-$\frac{p}{2}$分别交于S，T两点，试判断$\overrightarrow{FS}$•$\overrightarrow{FT}$是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点A（1，2）代入抛物线C的方程，解得p=2，即可求出抛物线方程．
（Ⅱ）求出抛物线的准线方程x=-1，焦点F的坐标为（1，0），设出直线PQ的方程为x=ty+1，求出PQ坐标，求出直线OP的方程，直线OQ的方程，然后求出S，T的坐标，联立直线与抛物线方程，通过韦达定理，结合$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}$化简求解即可．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）把点A（1，2）代入抛物线C的方程y²=2px，得4=2p，解得p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x．…．（4分）
（Ⅱ）因为p=2，所以直线$x=-\frac{p}{2}$为x=-1，焦点F的坐标为（1，0）
设直线PQ的方程为x=ty+1，$P（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$Q（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
则直线OP的方程为$y=\frac{4}{y_1}x$，直线OQ的方程为$y=\frac{4}{y_2}x$．…．（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{y_1}x\\ x=-1\end{array}\right.$得$S（-1，-\frac{4}{y_1}）$，同理得$T（-1，-\frac{4}{y_2}）$． …．（7分）
所以$\overrightarrow{FS}=（-2，-\frac{4}{y_1}）$，$\overrightarrow{FT}=（-2，-\frac{4}{y_2}）$，则$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}=4+\frac{16}{{{y_1}{y_2}}}$．        …．（9分）
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4ty-4=0，所以y₁y₂=-4，…．（11分）
则$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}=4+\frac{16}{（-4）}$=4-4=0．
所以，$\overrightarrow{FS}•\overrightarrow{FT}$的值是定值，且定值为0．…．（13分）

点评 本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．