Question

18．已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．
（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M-ACE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．MN$\stackrel{∥}{=}$AB．证明EM∥NF．然后过证明EM∥平面ADF．
方法二：证明BC∥AD．说明BC∥平面ADF．通过证明平面BCE∥平面ADF．推出EM∥平面ADF．
（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．证明EP⊥平面ABCD，然后利用等体积法求解即可．
方法二：取BE中点Q，连结AQ．说明AQ为四面体A-EMC的高．求出${S_{△EMC}}=\frac{1}{2}CM•BE=1$．利用等体积法求解体积即可．

解答 （本题满分9分）
（Ⅰ）方法一：
取AD中点N，连结MN．

∵四边形ABCD是正方形，M为BC中点，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$AB．
∵四边形ABEF是菱形，∴AB$\stackrel{∥}{=}$EF．
∴MN$\stackrel{∥}{=}$EF．∴四边形MNFE是平行四边形．∴EM∥NF．
∵EM?平面ADF，NF?平面ADF，
∴EM∥平面ADF．                                              …（5分）
方法二：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD．
∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF．
∵四边形ABEF是菱形，
∴BE∥AF．
∵BE?平面ADF，AF?平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，
∴平面BCE∥平面ADF．
∵EM?平面BCE，
∴EM∥平面ADF．
（Ⅱ）方法一：
取AB中点P，连结PE．
∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，

∴△AEB为正三角形，
∴EP⊥AB．
∵AB=2，∴$EP=\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴EP⊥平面ABCD，
∴EP为四面体E-ACM的高．
∴${V_{M-ACE}}={V_{E-ACM}}=\frac{1}{3}{S_{△ACM}}•EP=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．              …（9分）
方法二：
取BE中点Q，连结AQ．
∵在菱形ABEF，∠ABE=60°，
∴△AEB为正三角形，
∴AQ⊥BE．
∵AB=2，∴$AQ=\sqrt{3}$．
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF．
∵AQ?平面ABEF，BE?平面ABEF，
∴AQ⊥BC，BC⊥BE．
∴AQ⊥平面BEC．∴AQ为四面体A-EMC的高．
∵CB⊥EB，∴${S_{△EMC}}=\frac{1}{2}CM•BE=1$．
∴${V_{M-AEC}}={V_{A-EMC}}=\frac{1}{3}AQ•{S_{△EMC}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．    …（9分）

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．