Question

1．设函数f（x）=alnx+（1-a）x+$\frac{1}{x}$其中，a≥1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}$＜ln（n+1）-$\frac{n}{3（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{-（x-1）[（a-1）x-1]}{{x}^{2}}$，
①1≤a＜2时，$\frac{1}{a-1}$＞1，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜$\frac{1}{a-1}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1或x＞$\frac{1}{a-1}$，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，$\frac{1}{a-1}$）递增，在（$\frac{1}{a-1}$，+∞）递减；
②a=2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）递减；
③a＞2时，$\frac{1}{a-1}$＜1，
令f′（x）＞0，解得：$\frac{1}{a-1}$＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{a-1}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a-1}$）递减，在（$\frac{1}{a-1}$，1）递增，在（1，+∞）递减．
（2）证明：a=1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，（x＞0），
由（1）①得：f（x）在（0，1）递减，
∴f（x）＜f（1）即lnx＜1-$\frac{1}{x}$，
假设n=k时成立，
即$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$＜ln（k+1）-$\frac{k}{3（k+1）}$成立，
则只需n=k+1时：
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k+1}$+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+1）-$\frac{k}{3（k+1）}$+$\frac{1}{k+2}$＜ln（k+2）-$\frac{k+1}{3（k+2）}$即可，
∴只需证明ln$\frac{k+1}{k+2}$＜$\frac{k}{3（k+1）}$-$\frac{1}{k+2}$-$\frac{k+1}{3（k+2）}$=-$\frac{3k+4}{3（k+1）（k+2）}$成立，
而ln$\frac{k+1}{k+2}$＜1-$\frac{k+2}{k+1}$=-$\frac{1}{k+1}$，
-$\frac{1}{k+1}$-[-$\frac{3k+4}{3（k+1）（k+2）}$]=-$\frac{2}{3（k+1）（k+2）}$＜0，
∴n=k+1时不等式成立，
故原结论成立．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，考查数学归纳法与分析法的运用，综合性强．