Question

13．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA=1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O．
（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）立体几何中证明直线与直线垂直，通常可用三垂线定理：因为P在平面ABC内的射影为O，所以PO⊥平面ABF，所以AO为PA在平面ABF内的射影；又因为O为BF中点，所以AO⊥BF，则PA⊥BF．
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．由PO⊥平面ABF可得：AD⊥平面PBF，过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角．

解答 证明：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，△ABF为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO为PA在平面ABF内的射影；
∵O为BF中点，
∴AO⊥BF，∴PA⊥BF．
解：（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；
而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，
∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，
则AD⊥平面PBF；
又∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AO=$\frac{1}{2}$，DO=$\frac{3}{2}$，BO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，
则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角，
在△AHO中，OH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，tan∠AHO=$\frac{AO}{OH}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{7}{2\sqrt{21}}$，
在△DHO中，tan∠DHO=$\frac{DO}{OH}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴tan∠AHD=tan（∠AHO+∠DHO）=$\frac{\frac{7}{2\sqrt{21}}+\frac{\sqrt{21}}{2}}{1-\frac{7}{2\sqrt{21}}×\frac{\sqrt{21}}{2}}$=-$\frac{4×28}{3\sqrt{21}}$=-$\frac{16\sqrt{21}}{9}$，
∴cos∠AHD=-$\frac{3\sqrt{5457}}{1819}$．
∴面APB与面DPB所成二面角的大小的余弦值为-$\frac{3\sqrt{5457}}{1819}$．

点评 本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力