Question

10．设L为曲线C：y=e^x在点（0，1）处的切线．
（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；
（Ⅱ）设h（x）=e^x-ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0），从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）设f（x）=e^x，则f′（x）=e^x，
∴f′（0）=1，L的方程是y=x+1，
令g（x）=f（x）-（x+1），
则除切点之外，曲线C在直线L的上方等价于g（x）＞0，（?x∈R，x≠0），
g（x）满足g（0）=0，且g′（x）=f′（x）-1=e^x-1，
当x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）递减，
当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）递增，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；
（Ⅱ）h（x）的定义域是{x|x＞-1}，且h′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a，
①a≤2时，由（Ⅰ）得：e^x≥x+1，
∴h′（x）=e^x+$\frac{1}{x+1}$-a≥x+1+$\frac{1}{x+1}$-a≥2-a≥0，
∴h（x）在[0，+∞）递增，
∴h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意；
②a＞2时，由x∈[0，+∞），
且h′（x）的导数h″（x）=$\frac{{（x+1）}^{2}{•e}^{x}-1}{{（x+1）}^{2}}$≥0，
∴h′（x）在区间[0，+∞）递增，
∵h′（0）=2-a＜0，h′（lna）=$\frac{1}{1+lna}$＞0，
于是存在x₀∈（0，+∞），使得h′（x₀）=0，
∴h（x）在区间（0，x₀）上递减，在区间（x₀，+∞）递增，
∴h（x₀）＜h（0）=1，
此时，h（x）≥1不会恒成立，不合题意，
综上，a的范围是（-∞，2]．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．