Question

11．已知函数f（x）=aln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$与函数g（x）=ln（1-x）-$\frac{x}{x-1}$的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求a的值，并求函数f（x）的最小值；
（II）是否存在点M（0，-1）的直线与函数y=f （x）的图象相切？若存在，满足条件的切线有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的对称性求出a的值即可；
（Ⅱ）假设存在这样的切线，设出切点，表示出切线方程，构造函数h（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+$\frac{3}{x+1}$-1，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f（x）与g（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）=g（-x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，
∴a=1；         
f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，f′（x）=$\frac{x}{{（x+1）}^{2}}$，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴x=0时f（x）有最小值f（x）=0．       
（Ⅱ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x₀，ln（x₀+1）-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$），
故切线方程为：y-[ln（x₀+1）-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$]=$\frac{{x}_{0}}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$（x-x₀），
将点M坐标代入得：-1-[ln（x₀+1）-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}+1}$]=$\frac{{x}_{0}}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$（0-x₀），
即ln（x₀+1）-$\frac{1}{{{（x}_{0}+1）}^{2}}$+$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1=0①，
设h（x）=ln（x+1）-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+$\frac{3}{x+1}$-1，
则h′（x）=$\frac{x（x-1）}{{（x+1）}^{3}}$，
h（x）在区间（-1，0），（1，+∞）上是增函数，在区间（0，1）上是减函数，
又h（0）=1＞0，h（1）=ln2+$\frac{1}{4}$＞0，h（-$\frac{3}{4}$）=ln$\frac{1}{4}$-5＜0，
注意到h（x）在其定义域上的单调性，知h（x）=0仅在（-$\frac{3}{4}$，0）内有且仅有一根，
从而方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．