Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点．
（1）当点E为DC边的中点时，证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：无论点E在DC边的何处，都有AF⊥EF；
（3）求三棱锥B-AFE的体积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥CD．利用矩形的性质可得：CD⊥AD．即可证明CD⊥平面PAD，可得AF⊥CD．利用等腰三角形的性质可得：AF⊥PD．
即可证明AF⊥平面PCD．于是AF⊥EF．
（3）作FG∥PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，利用V_B-AEF=V_F-AEB=$\frac{1}{3}{S}_{△ABE}$•FG即可得出．

解答 证明：（1）∵E、F分别为DC、PD的中点，
∴EF∥PC．
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵ABCD是矩形，
∴CD⊥AD．
∵AD∩AP=A，AD?平面PAD，P A?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，
∴AF⊥CD．
又PA=AD，点F是PD中点，
∴AF⊥PD．
∵CD∩PD=D，CD?平面 PCD，PD?平面 PCD，
∴AF⊥平面PCD．
∵EF?平面PCD，
∴AF⊥EF．
解：（3）作FG∥PA交AD于G，则FG⊥平面ABCD，且$FG=\frac{1}{2}$．
又${S_{△ABE}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${V_{B-AEF}}={V_{F-AEB}}=\frac{1}{3}{S_{△ABE}}FG=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$，
∴三棱锥B-AFE的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．