Question

2．点P在椭圆$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1上，点P到直线3x-4y=24的最大距离等于$\frac{12}{5}$（2+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x-4y=24的d的表达式，再根据余弦函数的值域求得它的最值．

解答 解：设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），
则点P到直线3x-4y=24的d=$\frac{丨12cosθ-12sinθ-24丨}{\sqrt{{3}^{2}+（-4）^{2}}}$=$\frac{丨12\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）-24丨}{5}$，
由-1≤cos（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴当cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，d取得最大值为d_max=$\frac{12（2+\sqrt{2}）}{5}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$（2+$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查椭圆的参数方程，点到直线的距离公式的应用，余弦函数的值域，属于中档题．