Question

12．已知a＞0，函数f（x）=ax³-3x，g（x）=-$\frac{3}{2}$（a+2）x²+9x-3
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（2），f（2）的值，求出切线方程即可；（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵a=1，∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
∴f′（2）=9，f（2）=2，
∴曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0；
（2）h（x）=ax³-$\frac{3}{2}$（a+2）x²+6x-3，
h′（x）=3a（x-$\frac{2}{a}$）（x-1），
①若0＜a＜2，则$\frac{2}{a}$＞1；当x＜1或x＞$\frac{2}{a}$时，h′（x）＞0；
∴h（x）的单调增区间是（-∞，1），（$\frac{2}{a}$，+∞）；
②若a=2，则h′（x）=6（x-1）²≥0，
∴h（x）的单调增区间是R；
③若a＞2，则$\frac{2}{a}$＜1，
∴当x＜$\frac{2}{a}$或x＞1时，h′（x）＞0；
∴h（x）的单调增区间是（-∞，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）；      
综上所述，当0＜a＜2时，h（x）的单调增区间是（-∞，1），（$\frac{2}{a}$，+∞），
当a=2 时，h（x）的单调增区间是R，
当a＞2时，h（x）的单调增区间是（-∞，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．