Question

4．如图，ABCD是圆O的内接四边形，点C是$\widehat{BD}$的中点，切线CE交AD的延长线于E，AC交BD于F．
（Ⅰ）求证：∠AFD=∠CDE；
（Ⅱ）写出比值与$\frac{AE}{CE}$相等的5组线段．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如图，连接OC，证明△AFD∽△CDE，即可证明：∠AFD=∠CDE；
（Ⅱ）比值与$\frac{AE}{CE}$相等的线段共有7组，只需任写出其中5组即可．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连接OC，
因为C是$\widehat{BD}$的中点，所以OC⊥BD．
因为CE为圆O的切线，所以OC⊥CE，
所以BD∥CE，所以∠E=∠FDA．
又因为∠DAF=∠DCE，
所以△AFD∽△CDE，
所以∠AFD=∠CDE…（5分）
（Ⅱ）解：比值与$\frac{AE}{CE}$相等的线段共有7组，只需任写出其中5组即可，$\frac{CE}{DE}，\frac{AD}{FD}，\frac{AB}{BF}，\frac{BC}{CF}，\frac{DC}{CF}$．…（10分）

点评 本题考查圆的弦切角定理和三角形相似的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．