Question

9．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁B与侧面A₁C成60°，且侧面A₁B与侧面A₁C面积之比为8：5，若棱柱的侧面积为60cm²，体积为15$\sqrt{3}$cm³，求侧棱长．

Answer 1

分析 设侧棱长为ycm，侧面A₁B中，AA₁上的高为8xcm，侧面A₁中，AA₁上的高为5xcm，求出BC，利用棱柱的侧面积为60cm²，体积为15$\sqrt{3}$cm³，建立方程组，求侧棱长．

解答 解：设侧棱长为ycm，侧面A₁B中，AA₁上的高为8xcm，
侧面A₁中，AA₁上的高为5xcm，
则∵侧面A₁B与侧面A₁C成60°，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{64{x}^{2}+25{x}^{2}-2×8x×5x×\frac{1}{2}}$=7x，
∵棱柱的侧面积为60cm²，体积为15$\sqrt{3}$cm³，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5xy+8xy+7xy=60}\\{\frac{1}{2}×5x×8x×\frac{\sqrt{3}}{2}×y=15\sqrt{3}}\end{array}\right.$，∴x=$\frac{1}{2}$，y=6，
∴侧棱长为6cm．

点评 本题考查棱柱的侧面积、体积的计算，考查方程组思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．