题目内容
14．设集合A满足：若a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A．（1）若2∈A，请求出A中一定含有的其他元素；
（2）求证：若a∈A，则1-$\frac{1}{a}$∈A．
分析 （1）2∈A，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，依此类推即可得出．
（2）利用a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A．即可得出．
解答 （1）解：∵2∈A，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈A，
∴$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈A，$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2∈A．
∴A中一定含有的其他元素是-1，$\frac{1}{2}$．
（2）证明：∵a∈A，则$\frac{1}{1-a}$∈A，且1∉A．
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{1-a}{-a}$=1-$\frac{1}{a}$∈A．
点评 本题考查了集合的性质、元素与集合之间的关系、代数式的化简，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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2．
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如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹的长度为（ ）| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | π | D． | $\frac{2π}{3}$ |
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