Question

若x²+y²=1，设z=

1

x2

+

y

x

，则z的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题利用条件将原函数化成

y

x

的二次函数，再求出相应二次函数的最小值，得到本题的解．

解答： 解：∵x²+y²=1，
∴z=

1

x2

+

y

x

=

x2+y2

x2

+

y

x

=(

y

x

)2+

y

x

+1．
设

y

x

=t，
则z=f(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

．
当且仅当t=-

1

2

，即x=-

2 5

5

，y=

5

5

或x=

2 5

5

，y=-

5

5

时，z取最小值．

点评：本题考查的是二次函数的值域，难点是通过化归转化，将原函数化成

y

x

的二次函数．本题还可以通过三角代换去研究．