Question

【题目】设函数（是自然对数的底数，）.

（1）求的最值；

（2）讨论方程的根的个数.

Answer 1

【答案】（1）最大值为，无最小值（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

（1）由题意有，求出函数的单调区间，根据单调区间可得出函数的最值.
（2）当时，则，当时，则,讨论出函数的单调性，在上单调递增, 在上单调递减, 当时，,根据函数的最值的符号情况分析其零点个数.

（1），由，解得，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以的最大值为，无最小值.

（2）令，，

（1）当时，，则，

所以，.

因为，，所以，因此在上单调递增.

（2）当时，，则，

所以，，因为，，又，

所以，所以，因此在上单调递减.

综合（1）（2）可知，当时，，

当，即时，没有零点，

故关于的方程根的个数为0；

当，即时，只有一个零点，

故关于的方程根的个数为1；

当，即时，

①当时，由（1）知，

要使，只需使，即；

②当时，由（1）知；

要使，只需使，即；所以当时，有两个零点,

故关于的方程根的个数为2；

当时，关于的方程根的个数为0；

当时，关于的方程根的个数为1；

当时，关于的方程根的个数为2.