Question

点（x，y）满足的不等式组

x≥0 y≥x kx-y+1≥0

（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则x-3y的最小值为（　　）

• A、-3或0
• B、-或0
• C、-3
• D、-1

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据平面区域是直角三角形确定k的值，然后利用目标函数的几何意义即可得到结论．

解答： 解：由约束条件作出可行域如图，
∵直线kx-y+1=0恒过定点（0，1），且不等式kx-y+1≥0表示的区域在直线kx-y+1=0的下方，
要使原不等式组所表示的平面区域的边界是直角三角形，
则有k=0或直线kx-y+1=0与y=x垂直，综上可得k=0或k=-1．
作出不等式组对应的平面区域如图：
若k=0，则对应的区域为△OAB，
若k=-1，则对应的区域为△OAC，
设z=x-3y得y=

1

3

x-

z

3

，
平移直线y=

1

3

x-

z

3

，
由图象可知当直线y=

1

3

x-

z

3

经过点A（0，1）时，直线y=

1

3

x-

z

3

的截距最大，此时z最小，
代入目标函数z=x-3y，
得z=0-3×1=-3．
∴目标函数z=x-3y的最小值是-3．
故选C．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．