Question

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线y=

3

x，且焦距为4过双曲线的左焦点F₁作倾斜角为

π

6

的弦AB．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求线段AB的长；
（3）设F₂为右焦点，求△F₂AB的周长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出双曲线方程，求出渐近线方程，由题意可得，c=2，b=

3

a，由a，b，c的关系，解除a，b，即可得到双曲线方程；
（2）设出直线AB的方程，代入双曲线方程，解得方程的两根，再由弦长公式，计算即可得到；
（3）求出A，B的坐标，由两点的距离，即可得到△F₂AB的周长．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
则渐近线方程为y=±

b

a

x，
由题意可得，c=2，b=

3

a，
由a²+b²=c²，解得，a=1，b=

3

，
即有双曲线方程为x²-

y2

3

=1；
（2）由于F₁（-2，0），设直线AB：y=

3

3

（x+2），
代入双曲线方程，消去y，得，4x²+4x-5=0，
解得x=

-1± 6

2

，
由弦长公式得|AB|=

1+ 1 3

|x₁-x₂|=

2 3

3

×|

2 6

2

|=2

2

；
（3）由于F₂（2，0），A（

-1- 6

2

，

3 - 2

2

），B（

-1+ 6

2

，

3 + 2

2

），
则△F₂AB的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=2

2

+

( -5- 6 2 )2+( 3 - 2 2 )2

+

( -5+ 6 2 )2+( 3 + 2 2 )2

=2

6

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用弦长公式，考查运算能力，属于中档题．