Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=1-S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n•a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：

1

2

≤T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用递推关系式求出数列中相邻项的关系，进一步求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结果，利用乘公比错位相减法求数列的和，最后利用放缩法求出结论．

解答： 解：（1）由a_n=1-S_n，得a₁=1-S₁，又S₁=a₁，所以a1=

1

2

当n≥2时，由a_n=1-S_n，
解得：a_n-1=1-S_n-1
∴a_n-a_n-1=（1-S_n）-（1-S_n-1）
=S_n-1-S_n=-a_n
∴

an

an-1

=

1

2

∴{a_n}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
证明：（2）bn=n•an=

n

2n

∴Tn=

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

1

2

Tn=1•

1

22

+2•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

以上两式相减，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-(

1

2

)n-

n

2n+1

∴Tn=2-(n+2)•

1

2n

∵T_n+1-T_n=bn+1=

n+1

2n+1

＞0，
∴数列{T_n}单调递增   
∴Tn≥T1=b1=

1

2

，
又Tn=2-(n+2)•

1

2n

＜2
∴

1

2

≤Tn＜2

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，乘公比错位相减法的应用，放缩法在数列求和中的应用．属于中等题型．