Question

18．设命题p：?x∈R，使得x²+2ax+2-a=0；命题q：不等式ax²-$\sqrt{2}$ax+1＞0对任意x∈R成立，若p假q真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p为真时a的取值范围，再求出命题q为真时a的取值范围，
根据p假q真得出￢p为真，q为真，由此求出a的取值范围．

解答 解：命题p：?x∈R，使得x²+2ax+2-a=0，则△≥0，
即△=4a²-4（2-a）≥0，
解得a≤-2或a≥1，即p：a≤-2或a≥1，
命题q：不等式ax²-$\sqrt{2}$ax+1＞0对任意x∈R成立，
当a=0时，1＞0恒成立，满足条件；
当a≠0时，要使不等式恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{△={2a}^{2}-4a＜0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜2，
综上0≤a＜2，即q：0≤a＜2；
又p假q真，∴￢p为真，q为真；
即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{0≤a＜2}\end{array}\right.$，
解得0≤a＜1；
∴a的取值范围是[0，1）．

点评 本题主要考查了复合命题与简单命题之间的关系，利用p，q成立的等价条件是解题的关键．