Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出a_n与S_n的关于n的表达式；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，证明：

1

3

≤T_n＜

1

2

；
（3）是否存在自然数n，使得2S₁+

2S2

2

+

2Sn

n

-（n-2）²=2011．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的定义，结合a_n与S_n的关系即可得到结论；
（2）求出数列{

1

anan+1

}的通项公式，利用裂项法即可求出数列的前n项和为T_n，从而即可证明不等式

1

3

≤T_n＜

1

2

成立；
（3）解方程，利用一元二次方程根与判别式之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵a_n=

Sn

n

+n-1，时S_n=na_n-n²+n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-n²+n-[（n-1）a_n-1-（n-1）²+n-1]，
整理得（n-1）a_n-（n-1）a_n-1+2-2n=0，
即a_n-a_n-1=2，
则数列{a_n}为公差d=2的等差数列，则a_n=1+2（n-1）=2n-1，
则S_n=na_n-n²+n=n（2n-1）-n²+n=n²．
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

，
当n=1时，T₁=

1

1×3

=

1

3

，
故

1

3

≤T_n＜

1

2

成立．
（3）∵S_n=n²，
∴若2S₁+

2S2

2

+

2Sn

n

-（n-2）²=2011，
则n²-6n+2009=0，则判别式△=36-4×2009＜0，
∴方程无解．故不存在自然数n，使得2S₁+

2S2

2

+

2Sn

n

-（n-2）²=2011．

点评：本题主要考查等差数列的判断，以及利用裂项法进行数列求和，考查学生的计算能力．