Question

如图，已知PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，∠BAD=∠ADC=90°；
（1）在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．
（2）求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）令M为PC的中点，设PD中点为N，通过证明BM∥AN，AN⊥面PCD，即可在线段PC上找一点M，使BM⊥面PCD．
（2）延长CB交DA于E，说明∠CPD为二面角C-PE-D的平面角，在△PCD中，求由面PBC与面PAD所成角的二面角的正切值．

解答： 解：（1）M为PC的中点，设PD中点为N，
则MN=

1

2

CD，且MN∥

1

2

CD，∴MN=AB，MN∥AB
∴ABMN为平行四边形，∴BM∥AN，
又PA=AD，∠PAD=90°
∴AN⊥PD，
又CD⊥AN，∴AN⊥面PCD，
∴BM⊥面PCD，
（2）延长CB交DA于E，
∵AB=

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2

CD．AB∥

1

2

CD
∴AE=AD=PA，∴PD⊥PE
又∴PE⊥CD，∴PE⊥面PCD，
∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角；
在△PCD中，PD=

2

AD，CD=2AD；
∴tan∠CPD=

2

．

点评：本题考查空间直线与平面垂直，二面角的求法，考查空间想象能力、逻辑推理能力．