题目内容
若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an+T=an成立则称数列{an}为周期数列，周期为T，已知数列{an}满足a1=m（m＞0），an+1=
则，有下列结论：
①若a3=4，则m可以取3个不同的值；
②若m=
，则数列{an}是周期为3的数列；
③对任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列；
④存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．
其中正确的结论有 ．
|
①若a3=4，则m可以取3个不同的值；
②若m=
| 2 |
③对任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列；
④存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．
其中正确的结论有
考点：数列的函数特性
专题：函数的性质及应用
分析：①若a3=4，利用an+1=
，分别对a2，a1讨论即可得出；
②若m=
，可得a2，a3，a4，…，可得an+3=an．即可判断出数列{an}是否为周期数列．
③由①可知正确．
④可用反证法证明不正确．
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②若m=
| 2 |
③由①可知正确．
④可用反证法证明不正确．
解答：
解：①若a3=4，∵an+1=
，
∴当a2＞1时，a2-1=a3=4，解得a2=5．当a1=m＞1时，a1-1=a2=5，解得a1=6；当0＜a1=m＜1时，
=a2=5，解得a1=
．
当0＜a2＜1时，
=a3=4，解得a2=
．当a1=m＞1时，a1-1=a2=
，解得a1=
．当0＜a1=m＜1时，
=a2=
，解得a1=4，此时不符合条件，应舍去．
综上可得：m可以取3个不同的值：6，
，
．因此①正确．
②若m=
，则a2=a1-1=
-1，∴a3=
=
=
+1，∴a4=a3-1=
．
…，可得an+3=an．∴数列{an}是周期为3的数列，正确．
③对任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列，由①可知正确．
④假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．则当m=2时，a2=a1-1=1，∴a3=
=1=…=an（n≥2），此时数列{an}不是周期数列．
当m＞2时，当0＜m-k≤1时，ak+1=a1-k=m-k．∴ak+2=
=
＞1．若ak+2=ai，1≤i≤k+1，则
=m-（i-1），化为m2-m（k+i-1）+ki-k-1=0，则△=（k+i-1）2-4（ki-k-1）不为平方数，因此假设不正确．可知④不正确．
综上可知：只有①②③正确．
|
∴当a2＞1时，a2-1=a3=4，解得a2=5．当a1=m＞1时，a1-1=a2=5，解得a1=6；当0＜a1=m＜1时，
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| 5 |
当0＜a2＜1时，
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| 4 |
综上可得：m可以取3个不同的值：6，
| 1 |
| 5 |
| 5 |
| 4 |
②若m=
| 2 |
| 2 |
| 1 |
| a2 |
| 1 | ||
|
| 2 |
| 2 |
…，可得an+3=an．∴数列{an}是周期为3的数列，正确．
③对任意的T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{an}是周期为T的数列，由①可知正确．
④假设存在m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列．则当m=2时，a2=a1-1=1，∴a3=
| 1 |
| a2 |
当m＞2时，当0＜m-k≤1时，ak+1=a1-k=m-k．∴ak+2=
| 1 |
| ak+1 |
| 1 |
| m-k |
| 1 |
| m-k |
综上可知：只有①②③正确．
点评：本题考查了数列的周期性、分类讨论思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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